Conway ha interpretato il ruolo di Kahless nell'episodio «Il Ritorno di Kahless», della sesta stagione della serie tv «Star Trek: The Next Generation» e sul piccolo schermo recitato in decine di episodi di telefilm come «Miami Vice», «Un giustiziere a New York», «L'ispettore Tibbs», «Law & Order».
Ha recitato anche a Broadway vincendo il Drama Desk Award e tra le sue interpretazioni di maggior successo figura «The Elephant Man», che poi ha portato anche in una serie tv. Era sposato dal 1966 con l'attrice Mila Burnette.
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